中学3年生の数学で学習する2次関数（放物線と直線の式／三角形の面積）の解説プリントです。印刷ボタンで印刷することができます。上手く必要な範囲のみが印刷されないときは再読み込み後少し時間をおいてから印刷ボタンを押してください。
2次関数（放物線と直線の式／三角形の面積）
（１）放物線\(y=x²\)と直線\(y=2x+3\)の交点をx座標の小さい順にA,Bとする。このとき、次の問いに答えよ。
①点A及び点Bの座標を求めよ。
交点の座標を求めるには放物線と直線の式で連立すればよい。
\( \begin{align} x²&=2x+3 \\ x²-2x-3&=0 \\ (x+1)(x-3)&=0 \\ x&=-1,3 \end{align} \)
\(x=-1,3\)を\(y=x²\)にそれぞれ代入して、
\(x=-1\)のとき\(y=1\),\(x=3\)のとき\(y=9\)
よって、A(-1,1),B(3,9)
②△OABの面積を求めよ。
直線\(y=2x+3\)とy軸との交点をCとすると、△OAB=△OAC+△OBCである。
このとき、△OACと△OBCは、いずれも底辺がOCで、高さが点A,Bそれぞれのx座標の絶対値であると考えられる。
したがって、△OABの面積は、
\(3\times 1 \times \frac{1}{2} + 3\times 3 \times \frac{1}{2} =6 \)
よって、△OAB=6
なお、△OACと△OBCの面積の計算においては、高さ以外の要素が共通だから、
\(3\times (1+3) \times \frac{1}{2} =6 \)
のような式とすることもできる。
③原点Oを通り、△OABの面積を二等分する直線の式を求めよ。
求める直線は、ABの中点Mを通る。
（△OAMと△OBMは、底辺をそれぞれAM、BMと考えると、高さはいずれも点OからABに降ろした垂線の長さになる。したがって、△OAMと△OBMで、高さは共通で、底辺AM＝BMだから、△OAM=△OBMとなる。よって、直線OMは△OABの面積を2等分する。）
中点の座標は、各座標の平均で求めることができる。
M(p,q)とすると、
\(p=\frac{-1+3}{2}=1\)
\(q=\frac{1+9}{2}=5\)
求める直線の傾きaは、
\(a=\frac{q}{p}=\frac{5}{1}=5\)
よって、求める直線の式は、
\(y=5x\)
