中学1年生の数学で学習する一次方程式の解説プリントです。印刷ボタンで印刷することができます。上手く必要な範囲のみが印刷されないときは再読み込み後少し時間をおいてから印刷ボタンを押してください。
一次方程式
移項
方程式は、「\( x=1\)」のように、基本的には「文字=数字」の形にするのがゴールだ。
例えば、次の方程式を見てみよう。
\( x-2=3\)
「文字=数字」にするためには、イコールの左側(左辺)に邪魔な数字がある。
邪魔な「\( -2\)」を消すために、イコールの左側と右側の両方(両辺)に2を足してあげよう。すると、
\( x-2+2=3+2\)
となって、\( -2+2\)は0になるから、
\( x=3+2\)
となる。この結果だけ見ると、「\( x-2=3\)」が、「\( x=3+2\)」となっているから、イコールの左側(左辺)にいた「\( -2\)」が、イコールの右側(右辺)に「\( +2\)」となって移動している。
つまり、左辺にいた邪魔な数字を消すためには、符号を変えて(プラスとマイナスを入れ替えて)右辺に移してあげれば良いということになる。
これは、右辺から左辺に移すときも同じであるし、数字だけでなく文字を移すときも同じである。このように、文字や数字を左辺から右辺に、あるいは右辺から左辺に、符号を変えて移動することを「移項」という。
先ほどの移項した式「\( x=3+2\)」の右辺は計算できるから、
\( x=5\)
となり、「文字=数字」の形になった。これで「\( x-2=3\)」の解は「\( x=5\)」ということが分かり、方程式は解けたことになる。
今度は、次の方程式を見てみよう。
\( 2x=x+4\)
今度の式では、右辺に邪魔な文字がある。先ほど学んだ「移項」は、文字にも使えるから、右辺の「\( x\)」を左辺に移項してあげれば良い。すると、
\( 2x-x=4\)
となる。移項すると符号が変わるから、「\( x\)」を移項すると「\(- x\)」になることに注意しよう。
左辺を計算してあげると、
\( x=4\)
となり、「文字=数字」の形になって、方程式を解くことができた。
係数の消去
次は、この方程式を考えてみよう。
\( 2x=6\)
この方程式では、文字に邪魔な数字がくっついている。このように文字にくっついている数字を係数という。「\( 2x\)」は「\( 2 \times x\)」という意味だから、この2を消すためには、両辺を2で割ってあげれば良い。
\( \begin{align} 2x \div2 &=6\div2 \\ x&=6\div2 \end{align} \)
また結果だけ見ると、掛け算が割り算になって左辺から右辺に移動していることがわかる。同様に、割り算を消したいときには、掛け算になってイコールの反対側に移動する。
一次方程式の基本的な解き方
下の式を例に、一次方程式の解き方を見てみよう。
\( 2x+3=-5x+24\)
①文字を左辺に、数字を右辺に移項する。
今回の例では、左辺の\(3\)を右辺に、右辺の\( -5x\)を左辺にそれぞれ移項する。
移項するときは符号が変わることに注意しよう。
それ以外の項は、移項する必要がないのでそのままにしておく。
\( \begin{align} 2x+3&=-5x+24 \\ 2x+5x&=24-3 \end{align} \)
②計算できる部分を計算する。
文字と数字を等式の左側と右側に分けたので、計算できる部分を計算していく。
\( \begin{align} 2x+5x&=24-3 \\ 7x&=21 \end{align} \)
③文字の係数を消去する。
最後に残った邪魔な係数を消すために、割り算にして右辺に移動する。
\( \begin{align} 7x&=21 \\ x&=21\div7 \\x&=3 \end{align} \)
これで、\( x=3\)という方程式の解を求めることができた。
一次方程式の基本的な解き方は、「移項」→「係数の消去」である。
問題
次の方程式を解け。
(1) \( 3x-1=5 \)
\( \begin{align} 3x-1&=5 \\ 3x &=5+1 \\ 3x&=6 \\ x&=6\div3 \\x&=2 \end{align} \)
(2) \( -3x=x+1 \)
\( \begin{align} -3x&=x+1 \\ -3x-x &=1 \\ -4x&=1 \\ x&=1\div(-4) \\x&=-\frac{1}{4} \end{align} \)
(3) \( 5x-6=x+14 \)
\( \begin{align} 5x-6&=x+14 \\5x-x&=14+6 \\ 4x&=20 \\ x&=20\div4 \\x&=5 \end{align} \)