中学3年生の数学で学習する2次関数(放物線と直線の式/三角形の面積)の解説プリントです。印刷ボタンで印刷することができます。上手く必要な範囲のみが印刷されないときは再読み込み後少し時間をおいてから印刷ボタンを押してください。
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2次関数(放物線と直線の式/三角形の面積)
(1)原点をOとし、放物線\(y=2x²\)と直線\(y=2x+4\)の交点をx座標の小さい順にA,Bとする。このとき、次の問いに答えよ。
①点A及び点Bの座標を求めよ。
\( \begin{align} 2x²&=2x+4 \\ 2x²-2x-4&=0 \\ x²-x-2&=0 \\ (x+1)(x-2)&=0 \\ x&=-1,2 \end{align} \)
\(x=-1\)のとき\(y=2\),\(x=2\)のとき\(y=8\)
よって、A(-1,2),B(2,8)
②△OABの面積を求めよ。
求める面積は、直線ABの切片を底辺とする2つの三角形の面積の和であると考えられる。2つの三角形の高さはそれぞれ点A、点Bのx座標の絶対値であるから、
\(4\times (2+1) \times \frac{1}{2}=6 \)
よって、△OAB=6
③原点Oを通り、△OABの面積を二等分する直線の式を求めよ。
求める直線は辺ABの中点を通る。
辺ABの中点をM(p,q)とすると、
\(p=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(q=\frac{2+8}{2}=5\)
求める直線の傾きaは、\(a=\frac{q}{p}=10\)
よって、求める直線の式は、\(y=10x\)
(2)放物線\(y=ax²\)と直線\(\ell\)が2点A,Bで交わっている。点Aの座標がA(2,8)であるとき、次の問いに答えよ。
①aの値を求めよ。
\( \begin{align} 8&=a\times2^2 \\ a&=2 \end{align} \)
②点Bのx座標が-4であるとき、直線\(\ell\)の式を求めよ。
点Bのy座標は、
\(y=2\times(-4)^2=32\)
直線\(\ell\)の傾きは、
\(\frac{8-32}{2-(-4)}=-4\)
直線\(\ell\)の切片をbとすると、
\( \begin{align} 8&=-4\times2+b \\ b&=16 \end{align} \)
よって、直線\(\ell\)の式は、
\(y=-4x+16\)